Question

已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c的顶点C在以D（-2，-2）为圆心，4为半径的圆上，且经过⊙D与x轴的两个交点A、B，连接AC、BC、OC．
（1）求点C的坐标；
（2）求图中阴影部分的面积；
（3）在抛物线上是否存在点P，使DP所在直线平分线段OC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）作CH⊥x轴，垂足为H，CH必经过圆心D，易得CH=6，则点C的坐标可以得到．
（2）连接OA，OC则阴影部分的面积S=S扇形DAC-S△DAC；
（3）设OC的中点是E，E点的坐标就可以求出，利用待定系数法就可以求出直线DE的解析式，直线与抛物线的交点就是所求的点P．
【解析】
（1）如图，作CH⊥x轴，垂足为H，
∵直线CH为抛物线对称轴，
∴CH垂直平分AB，
∴CH必经过圆心D（-2，-2）．
∵DC=4，
∴CH=6
∴C点的坐标为（-2，-6）．（3分）

（2）连接AD．
在Rt△ADH中，AD=4，DH=2，
∴∠HAD=30°，AH=（4分）
∴∠ADC=120°
∴S扇形DAC=π（5分）
S△DAC=AH•CD=×2×4=4．（6分）
∴阴影部分的面积S=S扇形DAC-S△DAC=π-4．（7分）

（3）又∵AH=2，H点坐标为（-2，0），H为AB的中点，
∴A点坐标为（-2-2，0），B点坐标为（，0）．（8分）
又∵抛物线顶点C的坐标为（-2，-6），
设抛物线解析式为y=a（x+2）2-6．
∵B（，0）在抛物线上，
∴a（2-2+2）2-6=0，
解得．
∴抛物线的解析式为y=（x+2）2-6（9分）．
设OC的中点为E，过E作EF⊥x轴，垂足为F，连接DE，
∵CH⊥x轴，EF⊥x轴，
∴CH∥EF
∵E为OC的中点，
∴EF=CH=3，OF=OH=1．
即点E的坐标为（-1，-3）．
设直线DE的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴，
解得k=-1，b=-4，
∴直线DE的解析式为y=-x-4．（10分）
若存在P点满足已知条件，则P点必在直线DE和抛物线上．
设点P的坐标为（m，n），
∴n=-m-4，即点P坐标为（m，-m-4），
∴-m-4=（m+2）2-6，
解这个方程，得m1=0，m2=-6
∴点P的坐标为（0，-4）和（-6，2）．
故在抛物线上存在点P，使DP所在直线平分线段OC．（12分）