如图1,连接△ABC的各边中点得到一个新的△A
1B
1C
1,又连接△A
1B
1C
1的各边中点得到△A
2B
2C
2,如此无限继续下去,得到一系列三角形:△ABC,△A
1B
1C
1,△A
2B
2C
2,…
已知A(0,0),B(3,0),C(2,2).
(1)求这一系列三角形趋向于一个点M的坐标;
(2)如图2,分别求出经过A,B,C三点的抛物线解析式和经过A
1,B
1,C
1三点的抛物线解析式;
(3)设两抛物线的交点分别为E、F,连接EF、EC
1、FC
1、EC
2、FC
2、C
1C
2,问:C
2与△EC
1F的关系是什么?
(4)如图3,问:A,A
2,C,C
2四点可不可能在同一条抛物线上,试说明理由.
考点分析:
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已知P(m,a)是抛物线y=ax
2上的点,且点P在第一象限.
(1)求m的值
(2)直线y=kx+b过点P,交x轴的正半轴于点A,交抛物线于另一点M.
①当b=2a时,∠OPA=90°是否成立?如果成立,请证明;如果不成立,举出一个反例说明;
②当b=4时,记△MOA的面积为S,求
的最大值.
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已知:如图,抛物线y=-
的图象与x轴分别交于A,B两点,与y轴交于C点,⊙M经过原点O及点A、C,点D是劣弧
上一动点(D点与A、O不重合).
(1)求抛物线的顶点E的坐标;
(2)求⊙M的面积;
(3)连CD交AO于点F,延长CD至G,使FG=2,试探究,当点D运动到何处时,直线GA与⊙M相切,并请说明理由.
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在如图所示的直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,D为x轴上一点,连接BD交y轴于E点,且tan∠CBE=
.抛物线y=ax
2+bx+c(a≠0)过A、C、D三点,顶点为F.
(1)求D点坐标;
(2)求抛物线的解析式及顶点F的坐标;
(3)在直线DB上是否存在点P,使四边形PFDO为梯形?若存在,求出其坐标;若不存在,请说明理由.
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已知:AC是⊙O的直径,点A、B、C、O在⊙O
1上,OA=2.建立如图所示的直角坐标系.∠ACO=∠ACB=60度.
(1)求点B关于x轴对称的点D的坐标;
(2)求经过三点A、B、O的二次函数的解析式;
(3)该抛物线上是否存在点P,使四边形PABO为梯形?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图,已知二次函数y=
x
2+bx+c的图象与x轴只有一个公共点M,与y轴的交点为A,过点A的直线y=x+c与x轴交于点N,与这个二次函数的图象交于点B.
(1)求点A、B的坐标(用含b、c的式子表示);
(2)当S
△BMN=4S
△AMN时,求二次函数的解析式;
(3)在(2)的条件下,设点P为x轴上的一个动点,那么是否存在这样的点P,使得以P、A、M为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请写出符合条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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