Question

两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt△AOB和Rt△CED按图1所示的位置放置，A与C重合，O与C重合．
（1）求图1中，A，B，D三点的坐标；
（2）Rt△AOB固定不动，Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当D点运动到与B点重合时停止，设运动x秒后Rt△CED和Rt△AOB重叠部分面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）当Rt△CED以（2）中的速度和方向运动，运动时间x=4秒时Rt△CED运动到如图2所示的位置，求经过A，G，C三点的抛物线的解析式；
（4）现有一半径为2，圆心P在（3）中的抛物线上运动的动圆，试问⊙P在运动过程中是否存在⊙P与x轴或y轴相切的情况？若存在，请求出P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）Rt△AOB≌Rt△CED且直角边为6，所以有A（0，6），B（6，0），D（-6，0），
（2）Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长的速度向右运动，且DE=6，所以在运动过程中有两种情况，即D点仍停留在y轴左侧和D在y轴右侧，需分情况讨论．在第一种情况中，重合部分为两个全等的直角梯形，在第二种情况中，重合部分为一个等腰直角三角形，面积易求出．
（3）当运动时间为4秒时，即为（2）中第二种情况，此时A、G、C坐标均可求出，可利用待定系数法进行求解．
（4）当⊙P在运动过程中，存在⊙P与坐标轴相切的情况，具体分两种，与x轴相切和与y轴相切，当与y轴相切时可能在y轴左边也可能在y轴右边，因此又有两种情况，与x轴相切时一种情况．
【解析】
（1）A（0，6），B（6，0），D（-6，0）．（2分）

（2）当0≤x＜3时，位置如图A所示，
作GH⊥DB，垂足为H，可知：OE=2x，EH=x，
DO=6-2x，DH=6-x，
∴y=2S梯形IOHG=2（S△GHD-S△IOD）
=2[（6-x）2-（6-2x）2]
=2（x2+6x）
=-3x2+12x（3分）
当3≤x≤6时，位置如图B所示．
可知：DB=12-2x
∴y=S△DGB=
=（12-2x）]2=x2-12x+36（4分）
（求梯形IOHG的面积及△DGB的面积时只要所用方法适当，所得结论正确均可给分）
∴y与x的函数关系式为：；（5分）

（3）图B中，作GH⊥OE，垂足为H，
当x=4时，OE=2x=8，DB=12-2x=4，
∴GH=DH=DB=2，OH=6-HB=6-，DB=6-2=4
∴可知A（0，6），G（4，2），C（8，6），6分
∴经过A，G，C三点的抛物线的解析式为：y=（x-4）2+2=-2x+6；（7分）

（4）当⊙P在运动过程中，存在⊙P与坐标轴相切的情况，
设P点坐标为（x，y）
当⊙P与y轴相切时，有|x|=2，x=±2，
由x=-2，得：y=11，
∴P1（-2，11）
由x=2，得y=3，
∴P2（2，3）
当⊙P与x轴相切时，有|y|=2
y=（x-4）2+2＞0
∴y=2，得：x=4，
∴P3（4，2）
综上所述，符合条件的圆心P有三个，
其坐标分别是：P1（-2，11），P2（2，3），P3（4，2）．10分（每求出一个点坐标得1分）