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如图,在直角坐标系xOy中,点P为函数y=manfen5.com 满分网x2在第一象限内的图象上的任一点,点A的坐标为(0,1),直线l过B(0,-1)且与x轴平行,过P作y轴的平行线分别交x轴,l于C,Q,连接AQ交x轴于H,直线PH交y轴于R.
(1)求证:H点为线段AQ的中点;
(2)求证:①四边形APQR为平行四边形;②平行四边形APQR为菱形;
(3)除P点外,直线PH与抛物线y=manfen5.com 满分网x2有无其它公共点并说明理由.

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(1)由点的坐标知OA=OB,O为A,B的中点,利用三角形中位线定理可得(1)结论; (2)要证四边形为平行四边形,由题找到两对边平行且相等,就可以了.在进一步证菱形,验证平行四边形相邻边相等就行了; (3)判断有无公共点,要联立方程,看方程是否有解,若有解就存在. (1)证明:∵A(0,1),B(0,-1), ∴OA=OB.(1分) 又∵BQ∥x轴, ∴HA=HQ;(2分) (2)证明:①由(1)可知AH=QH,∠AHR=∠QHP, ∵AR∥PQ, ∴∠RAH=∠PQH, ∴△RAH≌△PQH.(3分) ∴AR=PQ, 又∵AR∥PQ, ∴四边形APQR为平行四边形.(4分) ②设P(m,m2), ∵PQ∥y轴,则Q(m,-1),则PQ=1+m2. 过P作PG⊥y轴,垂足为G. 在Rt△APG中,AP=+1=PQ, ∴平行四边形APQR为菱形;(6分) (3)【解析】 设直线PR为y=kx+b, 由OH=CH,得H(,0),P(m,m2). 代入得:, ∴. ∴直线PR为.(7分) 设直线PR与抛物线的公共点为(x,x2),代入直线PR关系式得:x2-x+m2=0,(x-m)2=0, 解得x=m.得公共点为(m,m2). 所以直线PH与抛物线y=x2只有一个公共点P.(8分)
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考点分析:
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已知:如图,抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、B,点A的坐标为(4,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CQE的面积最大时,求点Q的坐标;
(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(2,0).问:是否存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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如图,已知点A的坐标是(-1,0),点B的坐标是(9,0),以AB为直径作⊙O′,交y轴的负半轴于点C,连接AC,BC,过A,B,C三点作抛物线.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E是AC延长线上一点,∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D,连接BD,求直线BD的解析式;
(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使得∠PDB=∠CBD?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
第三问改成,在(2)的条件下,点P是直线BC下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,△PCD的面积是△BCD面积的三分之一,求此时点P的坐标.

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一条抛物线经过原点O与A(4,0)点,顶点B在直线y=kx+2k(k≠0)上.将这条抛物线先向上平移m(m>0)个单位,再向右平移m个单位,得到的抛物线的顶点B′仍然在直线y=kx+2k上,点A移动到了点A′.
(1)求k值及原抛物线的表达式;
(2)求使△A′OB′的面积是6032的m值.
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抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为M,与x轴的交点为A、B(点B在点A的右侧),△ABM的三个内角∠M、∠A、∠B所对的边分别为m、a、b.若关于x的一元二次方程(m-a)x2+2bx+(m+a)=0有两个相等的实数根.
(1)判断△ABM的形状,并说明理由.
(2)当顶点M的坐标为(-2,-1)时,求抛物线的解析式,并画出该抛物线的大致图形.
(3)若平行于x轴的直线与抛物线交于C、D两点,以CD为直径的圆恰好与x轴相切,求该圆的圆心坐标.
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如图,已知抛物线与x交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与y轴交于点B(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积;
(3)△AOB与△DBE是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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