Question

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a（x+1）²+c（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为M，若直线MC的函数表达式为y=kx-3，与x轴的交点为N，且cos∠BCO=．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q．若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

Answer

（1）根据MC的函数式不难得出C点的坐标应该是（0，-3），即c=-3，那么要求抛物线的解析式还缺少一个点的坐标，可根据OC=3，以及∠BCO的余弦值在直角三角形BCO中运用勾股定理求出OB的长，也就得出了B的坐标，进而可求出抛物线的解析式．
（2）假设存在这样的点P，那么要分两种情况进行讨论：
①当PN是另外一条直角边时，可先求出直线MC的函数解析式，然后确定出N点的坐标，如果PN与y轴的交点为N，那么直角三角形CND应该是个等腰直角三角形（∠OCN=45°），因此可求出OD的长，也就得出了D的坐标，然后可确定出直线PN的解析式，然后联立抛物线和PN所在直线的解析式即可求出此时交点P的坐标．
②当PC是另外一条直角边时，连接AC可发现，AC⊥CN（∠ACO=∠NCO=45°），而C点又正好在抛物线上，因此P与A重合，那么P点的坐标就是A点的坐标．
（3）①先求上移的单位，可先设出平移后的二次函数的解析式，然后联立抛物线和直线NQ即MC的解析式，然后可得出一个一元二次方程，要想使两函数有交点，那么△≥0，以此可求出平移单位的取值范围，也就可求出最大的平移值．
②要求向下平移的最大单位，可求出当Q，N正好在抛物线上时，b的取值，那么根据MC的直线解析式，可得出Q，N点的坐标，那么当Q，N正好在抛物线上时，可用Q，N得出b的值，然后即可求出向下平移的最大单位．
【解析】
（1）∵直线MC的函数表达式y=kx-3．
∴点C（0，-3）
∴cos∠BCO==
∴可设|OC|=3t（t＞0），|BC|=t
则由勾股定理，得|OB|=t
而|OC|=3t=3，
∴t=1
∴|OB|=1，
∴点B（1，0）
∵点B（1，0）C（0，-3）在抛物线上
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y=（x+1）2-4=x2+2x-3．

（2）假设在抛物线上存在异于点C的点P，使以N，P，C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形，
①若PN为另一条直角边
∵点M（-1，-4）在直线MC上，
∴-4=-k-3，即k=1
∴直线MC的函数表达式为y=x-3
易得直线MC与x轴的交点N的坐标为N（3，0）
∵|OC|=|ON|
∴∠CNO=45°
∴在y轴上取点D（0，3），
连接ND交抛物线于点P
∵|ON|=|OD|
∴∠DNO=45°
设直线ND的函数表达式为y=mx+n
由
得
∴直线ND的函数表达式为y=-x+3
设点P（x，-x+3），代入抛物线的函数表达式，
得-x+3=x2+2x-3，
即x2+3x-6=0
解得x1=，x2=
∴y1=，y2=
∴满足条件的点为P1（，），p2（，）．
②若PC是另外一条直角边
∵点A是抛物线与x轴的另一交点，
∴点A的坐标为（-3，0）
连接AC，∵|OA|=|OC|，
∴∠OCA=45°，又∠OCN=45°
∴∠ACN=90°，
∴点A就是所求的点p3（-3，0）
综上所述，在抛物线上存在满足条件的点，有3个，
分别为：P1（，），p2（，），p3（-3，0）．

（3）若抛物线沿其对称轴向上平移，
设向上平移b（b＞0）个单位可设函数表达式为y=x2+2x-3+b
由，
得x2+x+b=0．
∴要使抛物线与线段NQ总有交点，
必须△=1-4b≥0，即b≤，
∴0＜b≤
∴若抛物线向上平移，最多可平移个单位长度．
②若抛物线沿其对称轴向下平移，设向下平移b（b＞0）个单位
可设函数表达式为y=x2+2x-3-b
∵当x=-3时，y=-b，当x=3时，y=12-b
易求得Q（-3，-6），又N（3，0）
∴要使抛物线与线段NQ总有交点，必须
-b≥-6或12-b≥0，即b≤6或b≤12
∴0＜b≤12
∴若抛物线沿其对称轴向下平移，最多可平移12个单位长度
综上可知，若抛物线沿其对称轴向下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，
则向上最多可平移个单位长度，向下最多可平移12个单位长度．