Question

如图所示，已知点A（-1，0），B（3，0），C（0，t），且t＞0，tan∠BAC=3，抛物线经过A、B、C三点，点P（2，m）是抛物线与直线l：y=k（x+1）的一个交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）对于动点Q（1，m），求PQ+QB的最小值；
（3）若动点M在直线l上方的抛物线上运动，求△AMP的边AP上的高h的最大值．

Answer

（1）根据题意可知tan∠BAC=3，所以可求得点C的坐标，根据待定系数法，即可求得二次函数的解析式；
（2）因为点P在抛物线上，所以可求得m的值，即可求得直线l的解析式，根据题意可得点Q在直线x=1上，可知点Q在抛物线的对称轴上，有两点间线段最短可知直线AP与抛物线的对称轴的交点即是点Q；求得AP的值即可；
（3）可首先求得△APM的最大值，利用图形面积的拼凑方法即可求得，再根据面积公式求得h的最大值即可．
【解析】
（1）∵tan∠BAC=3，
∴==3，
∴OC=3，
∴点C的坐标为（0，3），
∴t=3，
将点A、B、C的坐标代入二次函数解析式得：，
解得：，
∴此抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；

（2）∵点P（2，m）在抛物线上，
∴m=3，
∴点P的坐标为（2，3），
∴3=3k，
∴k=1，
∴直线l的解析式为y=x+1，
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴此函数的对称轴为x=1，
∴点Q在抛物线的对称轴上，
∴点B关于对称轴的对称点为点A，
∴设直线AP的解析式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴直线AP的解析式为y=x+1，
∴点Q的坐标为（1，2），
∴PQ+QB=PA==3；

（3）过点P作PN⊥x轴于点N，过点M作MK⊥x轴于点K，
设点M的坐标为（x，-x2+2x+3），
∴S△APM=S△AKM+S梯形PNKM-S△PNA，
=（1+x）（-x2+2x+3）+（-x2+2x+3+3）（2-x）-×3×3，
=-（x2-x-2），
=-（x-）2+，
∴△APM的最大值为，
∵AP的长度不变，
∴△AMP的边AP上的高h的最大值为．