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如图,已知二次函数图象的顶点坐标为(2,0),直线y=x+1与二次函数的图象交于...

如图,已知二次函数图象的顶点坐标为(2,0),直线y=x+1与二次函数的图象交于A,B两点,其中点A在y轴上.
(1)二次函数的解析式为y=______
(2)证明:点(-m,2m-1)不在(1)中所求的二次函数的图象上;
(3)若C为线段AB的中点,过C点作CE⊥x轴于E点,CE与二次函数的图象交于D点.
①y轴上存在点K,使以K,A,D,C为顶点的四边形是平行四边形,则K点的坐标是______
②二次函数的图象上是否存在点p,使得S三角形POE=2S三角形ABD?求出P点坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)由二次函数图象的顶点坐标为(2,0),故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析式. (2)把该点代入抛物线上,得到m的一元二次方程,求根的判别式. (3)由直线y=x+1与二次函数的图象交于A,B两点,解得A、B两点坐标,求出D点坐标, ①设K点坐标(0,a),使K,A,D,C为顶点的四边形是平行四边形,则KA=DC,且BA∥DK,进而求出K点的坐标. ②过点B作BF⊥x轴于F,则BF∥CE∥AO,又C为AB中点,求得B点坐标,可得到S三角形ABD=2S三角形ACD,设P(x,x2-x+1),由题意可以解出x. (1)【解析】 顶点坐标为(2,0),可设解析式为:y=a(x-2)2, 把x=0代入y=x+1得y=1,则A(0,1) 再代入y=a(x-2)2得:1=4a,则a=. 故二次函数的解析式为:y=(x-2)2=x2-x+1. (2)证明:设点(-m,2m-1)在二次函数y=x2-x+1的图象上, 则有:2m-1=m2+m+1, 整理得m2-4m+8=0, ∵△=(-4)2-4×8=-16<0 ∴原方程无解, ∴点(-m,2m-1)不在二次函数y=x2-x+1的图象上. (3)【解析】 ①K(0,-3)或(0,5); ②二次函数的图象上存在点P,使得S△POE=2S△ABD, 如图,过点B作BF⊥x轴于F,则BF∥CE∥AO,又C为AB中点, ∴OE=EF,由于y=x2-x+1和y=x+1可求得点B(8,9) ∴E(4,0),D(4,1),C(4,5), ∴AD∥x轴, ∴S△ABD=2S△ACD=2××4×4=16. 设P(x,x2-x+1), 由题意有:S△POE=×4(-x+1)=x2-2x+2, ∵S△POE=2S△ABD ∴x2-2x+2=32 解得x=-6或x=10, 当x=-6时,y=×36+6+1=16, 当x=10时,y=×100-10+1=16, ∴存在点P(-6,16)和P(10,16),使得S△POE=2S△ABD,得到 △POE的边OE上的高为16,即点P的纵坐标为16, 然后由16=x2-x+1可求出P点坐标.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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