如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，过B作BC⊥x轴，垂足为C，...

如图，正比例函数

与反比例函数

的图象相交于A、B两点，过B作BC⊥x轴，垂足为C，且△BOC的面积等于4．
（1）求k的值；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）在x轴的正半轴上是否存在一点P，使得△POA为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）用B点坐标表示△BOC的面积建立关系式求k；（2）解由函数解析式组成的方程组；（3）存在．分别以OA为斜边和直角边分类讨论．【解析】（1）设点B（x，y），则BC=|y|=-y，CO=|x|=-x， ∵B（x，y）在反比例函数的图象上， ∴xy=k，因△BOC的面积等于4，， ∴k=8；（2）∵k=8，所以反比例函数的解析式为，解方程组：，得：x1=4，y1=2；x2=-4，y2=-2， ∴点A（4，2），B（-4，-2）；（3）存在．当AP⊥x轴时，如图（1）点P（4，0），当AP⊥AO时，如图（2）设P（m，0），过点A作AD⊥x轴于D，由A（4，2）得AD=2，DO=4，PD=m-4，在Rt△ADO中，AO2=AD2+DO2=20，在Rt△ADP中，AP2=AD2+DP2=4+（m-4）2，在Rt△AOP中，PO2=AO2+AP2，即：20+[4+（m-4）2]=m2，解得m=5，所以P（5，0），综上，在x轴上存在点P（4，0）或P（5，0），使得△POA为直角三角形．

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考点分析：

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如图，直线y=kx+2k（k≠0）与x轴交于点B，与双曲线 manfen5.com 满分网

交于点A、C，其中点A在第一象限，点C在第三象限．
（1）求B点的坐标；
（2）若S_△AOB=2，求A点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标．

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如图，直线y=kx+2k（k≠0）与x轴交于点B，与双曲线y=（m+5）x^2m+1交于点A、C，其中点A在第一象限，点C在第三象限．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求B点的坐标；
（3）若S_△AOB=2，求A点的坐标；
（4）在（3）的条件下，在x轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．