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已知:如图,在直角梯形COAB中,OC∥AB,以O为原点建立平面直角坐标系,A,...

已知:如图,在直角梯形COAB中,OC∥AB,以O为原点建立平面直角坐标系,A,B,C三点的坐标分别为A(8,0),B(8,10),C(0,4),点D为线段BC的中点,动点P从点O出发,以每秒1个单位的速度,沿折线OABD的路线移动,移动的时间为t秒.
(1)求直线BC的解析式;
(2)若动点P在线段OA上移动,当t为何值时,四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的manfen5.com 满分网
(3)动点P从点O出发,沿折线OABD的路线移动过程中,设△OPD的面积为S,请直接写出S与t的函数关系式,并指出自变量t的取值范围;
(4)试探究:当动点P在线段AB上移动时,能否在线段OA上找到一点Q,使四边形CQPD为矩形?并求出此时动点P的坐标.

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(1)可根据点B,C的坐标,用待定系数法来求出直线BC的解析式; (2)可先计算出梯形面积的,也就求出了四边形COPD的面积.有OC的长,D是BC的中点,如果过D作梯形的中位线,可求出三角形OCD中,OC边上的高应该是4,由此可求出三角形OCD的面积,也就能表示出OPD的面积,然后再用OP的值表示出三角形OPD的面积,得出关于t的方程,即可求出此时t的值; (3)本题要分三种情况进行讨论: ①当P在OA上时,即0<t<8时,如果过D作OA的垂线DE,垂直为E,那么DE就是梯形的中位线,即DE=7,要表示三角形OPD的面积,还需知道OP的长,可以根据P点的速度,用时间t表示出OP,这样可根据三角形的面积公式求出关于S,t的函数关系式. ②当P在AB上时,即8≤t<18时,三角形OPD的面积可以用四边形OAPD的面积-三角形OAP的面积来表示,而四边形OAPD的面积可分成梯形DEAP和三角形OED两部分来求,而OE,AE,DE,AB都是定值,因此可求出四边形OAPD的面积,三角形OAP中,可用t表示出AP的长,进而可用t表示出三角形OAP的面积,然后根据三角形OPD的面积S=四边形OAPD的面积-三角形OAP的面积,即可得出关于S,t的函数关系式; ③当P在BD上时,即18<t<23时,三角形OPD的面积可用三角形OCP的面积-三角形OCD的面积来求,三角形OPC中,可过P作OC的垂线PH,可根据AB∥OC,得出∠BCH的正弦值,然后用t表示出CP,那么在直角三角形OPH中可以求出OC边上的高PH的表达式,那么就能表示出三角形OPC的面积,三角形OCD中,OC的值已知,而OC边上的高就是OE,那么也可求出三角形OCD的面积,然后可根据三角形OPD的面积=三角形OPC的面积-三角形OCD的面积来求出关于S,t的函数关系式; (4)先假设存在这样的点P,那么四边形CQPD是矩形,可得出CD=QP=BD=5,∠QPD=∠PDC=90°,要求此时t的值,首先就要求出AP的长,根据∠QPD=∠BDP=∠QAP=90°,不难得出三角形AQP与三角形DPB相似,那么可得出关于BD,BP,AP,QP的比例关系,而BD,QP的长已求出,AP+PB=AB=10,因此可求出此时AP,PB的长,然后判定一下此时四边形QPDC是矩形的结论是否成立,如果成立可根据AP的长求出t的长. 【解析】 (1)设BC所在直线的解析式为y=kx+b, 因为直线BC过B(8,10),C(0,4)两点,可得: , 解得k=,b=4, 因此BC所在直线的解析式是y=x+4; (2)过D作DE⊥OA, 则DE为梯形OABC的中位线,OC=4,AB=10, 则DE=7,又OA=8,得S梯形OABC=56, 则四边形OPDC的面积为16,S△COD=8, ∴S△POD=8, 即•t×7=8, 得t=; (3)分三种情况 ①0<t≤8,(P在OA上) S三角形OPD=t ②8<t≤18,(P在AB上) S三角形OPD=S梯形OCBA-S三角形OCD-S三角形OAP-S三角形PBD =56-8-4(t-8)-2(18-t)=44-2t (此时AP=t-8,BP=18-t) ③过D点作DM垂直y轴与M点 ∴CM=3,DM=4,CD=5, ∴∠BCH的正弦值为 CP长为28-t ∴PH=22.4-0.8t S三角形OPD=S三角形OPC-S三角形ODC =×4(22.4-0.8t)-8 =-t; (4)不能.理由如下:作CM⊥AB交AB于M, 则CM=OA=8,AM=OC=4, ∴MB=6. ∴在Rt△BCM中,BC=10, ∴CD=5, 若四边形CQPD为矩形,则PQ=CD=5, 且PQ∥CD, ∴Rt△PAQ∽Rt△BDP, 设BP=x,则PA=10-x, ∴, 化简得x2-10x+25=0,x=5,即PB=5, ∴PB=BD,这与△PBD是直角三角形不相符因此四边形CQPD不可能是矩形.
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考点分析:
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(1)当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形?
(2)求四边形QAPC的面积,提出一个与计算结果有关的结论;
(3)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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