满分5 > 初中数学试题 >

如图①,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(...

如图①,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C.
manfen5.com 满分网
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图②,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.
(1)已知抛物线过A、B两点,可将两点的坐标代入抛物线的解析式中,用待定系数法即可求出二次函数的解析式; (2)可根据(1)的函数解析式得出抛物线的对称轴,也就得出了M点的坐标,由于C是抛物线与y轴的交点,因此C的坐标为(0,3),根据M、C的坐标可求出CM的距离.然后分三种情况进行讨论: ①当CP=PM时,P位于CM的垂直平分线上.求P点坐标关键是求P的纵坐标,过P作PQ⊥y轴于Q,如果设PM=CP=x,那么直角三角形CPQ中CP=x,OM的长,可根据M的坐标得出,CQ=3-x,因此可根据勾股定理求出x的值,P点的横坐标与M的横坐标相同,纵坐标为x,由此可得出P的坐标. ②当CM=MP时,根据CM的长即可求出P的纵坐标,也就得出了P的坐标(要注意分上下两点). ③当CM=CP时,因为C的坐标为(0,3),那么直线y=3必垂直平分PM,因此P的纵坐标是6,由此可得出P的坐标; (3)由于四边形BOCE不是规则的四边形,因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算,过E作EF⊥x轴于F,四边形BOCE的面积=三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积.直角梯形FOCE中,FO为E的横坐标的绝对值,EF为E的纵坐标,已知C的纵坐标,就知道了OC的长.在三角形BFE中,BF=BO-OF,因此可用E的横坐标表示出BF的长.如果根据抛物线设出E的坐标,然后代入上面的线段中,即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值.即可求出此时E的坐标. 【解析】 (1)由题知: 解得: ∴所求抛物线解析式为: y=-x2-2x+3; (2)∵抛物线解析式为: y=-x2-2x+3, ∴其对称轴为x==-1, ∴设P点坐标为(-1,a),当x=0时,y=3, ∴C(0,3),M(-1,0) ∴当CP=PM时,(-1)2+(3-a)2=a2,解得a=, ∴P点坐标为:P(-1,); ∴当CM=PM时,(-1)2+32=a2,解得a=±, ∴P点坐标为:P(-1,)或P(-1,-); ∴当CM=CP时,由勾股定理得:(-1)2+32=(-1)2+(3-a)2,解得a=6, ∴P点坐标为:P(-1,6) 综上所述存在符合条件的点P,其坐标为P(-1,)或P(-1,-) 或P(-1,6)或P(-1,); (3)过点E作EF⊥x轴于点F,设E(a,-a2-2a+3)(-3<a<0) ∴EF=-a2-2a+3,BF=a+3,OF=-a ∴S四边形BOCE=BF•EF+(OC+EF)•OF =(a+3)•(-a2-2a+3)+(-a2-2a+6)•(-a) = =-+ ∴当a=-时,S四边形BOCE最大,且最大值为. 此时,点E坐标为(-,).
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
如图,二次函数的图象经过点D(0,manfen5.com 满分网),且顶点C的横坐标为4,该图象在x轴上截得的线段AB的长为6.
(1)求二次函数的解析式;
(2)在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标;
(3)在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.

manfen5.com 满分网 查看答案
如图,已知直线y=-manfen5.com 满分网x+1交坐标轴于A,B两点,以线段AB为边向上作正方形ABCD,过点A,D,C的抛物线与直线另一个交点为E.
(1)请直接写出点C,D的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)若正方形以每秒manfen5.com 满分网个单位长度的速度沿射线AB下滑,直至顶点D落在x轴上时停止.设正方形落在x轴下方部分的面积为S,求S关于滑行时间t的函数关系式,并写出相应自变量t的取值范围;
(4)在(3)的条件下,抛物线与正方形一起平移,同时D停止,求抛物线上C,E两点间的抛物线弧所扫过的面积.

manfen5.com 满分网 查看答案
如图,△OAB是边长为2的等边三角形,过点A的直线manfen5.com 满分网+m与x轴交于点E.
(1)求点E的坐标;
(2)求过A、O、E三点的抛物线解析式;
(3)若点P是(2)中求出的抛物线AE段上一动点(不与A、E重合),设四边形OAPE的面积为S,求S的最大值.

manfen5.com 满分网 查看答案
已知函数y1=x,y2=x2+bx+c,α,β为方程y1-y2=0的两个根,点M(t,T)在函数y2的图象上.
(Ⅰ)若α=manfen5.com 满分网,β=manfen5.com 满分网,求函数y2的解析式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若函数y1与y2的图象的两个交点为A,B,当△ABM的面积为manfen5.com 满分网时,求t的值;
(Ⅲ)若0<α<β<1,当0<t<1时,试确定T,α,β三者之间的大小关系,并说明理由.
查看答案
已知抛物线y=ax2-x+c经过点Q(-2,manfen5.com 满分网),且它的顶点P的横坐标为-1.设抛物线与x轴相交于A、manfen5.com 满分网B两点,如图.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求A、B两点的坐标;
(3)设PB于y轴交于C点,求△ABC的面积.
查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.