如图,在正五边形ABCDE中,连接对角线AC,AD和CE,AD交CE于F.
(1)请列出图中两对全等三角形______,______.(不另外添加辅助线)
(2)请选择所列举的一对全等三角形加以证明.
考点分析:
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(1)操作:如图2,O是边长为a的正方形ABCD的中心,将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O点处,并将纸板绕O点旋转.求证:正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.
(2)思考:如图1,将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正三角形或边长为a的正五边形的中心O点处,并将纸板绕O点旋转.当扇形纸板的圆心角为______时,正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a;如图3,当扇形纸板的圆心角为______时,正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.(直接填空)
(3)探究:一般地,将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处,并将纸板绕O点旋转,当扇形纸板的圆心角为______度时,正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a;这时正n边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值?若为定值,写出它与正n边形面积S之间的关系(不需证明);若不是定值,请说明理由.
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如图,有一个圆O和两个正六边形T
1,T
2. T
1的6个顶点都在圆周上,T
2的6条边都和圆O相切(我们称T
1,T
2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形).
(1)设T
1,T
2的边长分别为a,b,圆O的半径为r,求r:a及r:b的值;
(2)求正六边形T
1,T
2的面积比S
1:S
2的值.
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问题背景:某课外学习小组在一次学习研讨中,得到了如下两个命题:
①如图1,在正三角形ABC中,M,N分别是AC,AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=60°,则BM=CN;
②如图2,在正方形ABCD中,M,N分别是CD,AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=90°,则BM=CN.
然后运用类比的思想提出了如下命题;
③如图3,在正五边形ABCDE中,M,N分别是CD,DE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108°,则BM=CN.任务要求:
(1)请你从①,②,③三个命题中选择一个进行证明;
(2)请你继续完成下面的探索:
①如图4,在正n(n≥3)边形ABCDEF…中,M,N分别是CD,DE上的点,BM与CN相交于点O,试问当∠BON等于多少度时,结论BM=CN成立;(不要求证明)
②如图5,在正五边形ABCDE中,M,N分别是DE,AE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108°时,试问结论BM=CN是否还成立.若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
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已知正六边形ABCDEF内接于⊙O,图中阴影部分的面积为
,则⊙O的半径为
.
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直径为20cm的圆内接正六边形的面积是
cm
2.
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