Question

如图1，AB是⊙O的直径，射线BM⊥AB，垂足为B，点C为射线BM上的一个动点（C与B不重合），连接AC交⊙O于D，过点D作⊙O的切线交BC于E．
（1）在C点运动过程中，当DE∥AB时（如图2），求∠ACB的度数；
（2）在C点运动过程中，试比较线段CE与BE的大小，并说明理由；
（3）∠ACB在什么范围内变化时，线段DC上存在点G，满足条件BC²=4DG•DC（请写出推理过程）．

Answer

（1）连接圆心和切点，可得到∠ODE=90°，那么可得∠AOD=90°，所以∠A=45°，进而可求得∠ACB的度数；
（2）证CE、DE是否相等，即求∠ECD和∠EDC是否相等；连接BD，由切线长定理知△EDB是等腰三角形，即∠EDB=∠EBD；在Rt△CDB中，可发现∠ECD和∠EDC是等角的余角，由此得证；
（3）由（2）的结论易知：DE是Rt△CDB斜边上的中线，即BC=2DE，将此关系式代入所求证的结论中，可得DE2=DG•DC；由此可证得△DEG∽△DCE，即∠DEG=∠ACB；进而可根据∠DGE和∠ACB的大小关系以及三角形内角和定理，求出∠ACB的取值范围．

【解析】
（1）如图2：当DE∥AB时，连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵DE∥AB，
∴OD⊥AB；
又∵OD=OA，
∴∠A=45°，
又∵BM⊥AB，
∴∠OBE=90°，
∴在Rt△ABC中，∠ACB=45°；
即：当∠ACB=45°时，DE∥AB；
（本问证明的方法比较多，对于其它方法，只要是正确的，请参照给分）

（2）如图1，连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA=∠BDC=90°，
∴∠ACB+∠CBD=90°，
∠EDB+∠CDE=90°；
又∵BM⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴MB是⊙O的切线，
又∵DE是⊙O的切线，
∴∠CBD=∠EDB，
∴∠ACB=∠CDE，
∴EC=ED，
∴BE=EC；

（3）假设在线段CD上存在点G，使BC2=4DG•DC，
由（2）知：BE=CE，
∴BC=2CE=2DE，
∴（2DE）2=4 DG•DC，从而DE2=DG•DC；
由于∠CDE是公共角，
∴△DEG∽△DCE，
∴∠ACB=∠DEG；
令∠ACB=x，∠DGE=y，
∴∠CDE=∠ACB=x，
∵C和B不重合，
∴BC＞0，
∴D和G就不能够重合，但是，G可以和C重合，
∴要使线段CD上的G点存在，则要满足：2x+y=180°且y≥x，因此x≤60°，
∴0°＜∠ACB≤60°时，满足条件的G点存在．