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已知:AB为⊙O的直径,P为AB弧的中点. (1)若⊙O′与⊙O外切于点P(见图...

已知:AB为⊙O的直径,P为AB弧的中点.
(1)若⊙O′与⊙O外切于点P(见图甲),AP、BP的延长线分别交⊙O′于点C、D,连接CD,则△PCD是______三角形;
(2)若⊙O′与⊙O相交于点P、Q(见图乙),连接AQ、BQ并延长分别交⊙O′于点E、F,请选择下列两个问题中的一个作答:
问题一:判断△PEF的形状,并证明你的结论;
问题二:判断线段AE与BF的关系,并证明你的结论.
我选择问题______,结论:______

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(1)根据直径所对的圆周角是直角以及等弧对等弦进行证明; (2)根据直径所对的圆周角是直角得到∠AQB=90°,根据对顶角相等得到∠EQF=90°.再根据90°的圆周角所对的弦是直径,得到EF是直径.从而得到∠EPF=90°;根据(1)中的结论,连接AP、BP.可证△APE≌△BPF,即证AE=BF. 【解析】 (1)△PCD是等腰直角三角形. 连接OO',则OO'过点P; ∵AB为⊙O的直径,P为AB弧的中点, ∴∠APB=90°,AP=BP, ∴∠DPC=90°,∠A=45°, 又∵AO=BO, ∴∠APO=45°, ∴∠CPO'=45°, ∵CD是直径, ∴O'P=O'C, ∴∠C=∠O'PC=45°, 同理可得∠D=45°, ∴∠C=∠D, ∴CP=DP, ∴△PCD是等腰直角三角形; (2)选择问题一,△PEF是等腰直角三角形. 证明:连接PA、PB, ∵AB是直径, ∴∠AQB=∠EQF=90°, ∴EF是⊙O′的直径, ∴∠EPF=90°, 在△APE和△BPF中: ∵PA=PB,∠PBF=∠PAE,∠APE=90°+∠EPB=∠BPF, ∴△APE≌△BPF, ∴PE=PF, ∴△PEF是等腰直角三角形; 选择问题二,AE=BF. 证明:连接PA、PB, 根据(1)的结论, 在△APE和△BPF中: ∵PA=PB,∠PBF=∠PAE,∠APE=90°+∠EPB=∠BPF, ∴△APE≌△BPF, ∴AE=BF. ∵AB、EF分别是直径, ∴∠AQB=∠EQF. 及AE垂直且相等与BF.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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