Question

如图，点P是反比例函数图象上的点，PA垂直x轴于点A（－1，0），点C的坐标为（1，0），PC交y轴于点B，连结AB，已知AB=。

（1）k的值是　  　；

（2）若M（a，b）是该反比例函数图象上的点，且满足∠MBA＜∠ABC，则a的取值范围是　  　。

Answer

（1）；（2）0＜a＜2或。

【解析】（1）依题意，AO=1，OC=1，∴AB是Rt△PAC斜边上的中线。

∵AB=，∴PC=。

∴在Rt△PAC中，AC=2，AP=，PC=，

∴根据勾股定理，得：，解得。

∵，∴。

（2）分两种情况：

     ①当点M在x轴下方时，考虑∠MBA＝∠ABC的情况：当∠MBA＝∠ABC时，点M是PC与双曲线的另一个交点，由B（0,2）,C（1,0）易得直线PC的解析式为，与联立：

，解得：或（点P坐标，舍去），

∴当∠MBA＝∠ABC时，点M的坐标为（2，－2）。

∴当∠MBA＜∠ABC时，0＜a＜2。

②当点M在x轴上方时，考虑∠MBA＝∠ABC的情况：如图，将△ABC顺时针旋转至

△EBA，延长BE交于点，则之间横坐标的值即为所求。过点E分别作ｘ轴和ｙ轴的垂线，垂足分别为点F，G，设点E的坐标为（ｘ，ｙ），

由旋转的性质，得AE=AC=2，BE=BA=。

在Rt△AEF中，由勾股定理，得，即①，

在Rt△BEG中，由勾股定理，得，即②，

①-②，得，即③，

将③代入②，得，解得或（舍去），

将代入③得。

∴点E的坐标为。

设直线BE的解析式为，则。

∴直线BE的解析式为。

联立。

∴。

综上所述，a的取值范围是0＜a＜2或。