Question

已知抛物线抛物线（n为正整数，且0<a₁<a₂<…<a_n）与x轴的交点为A_n-1（b_n-1,0）和A_n(b_n，0)，当n=1时，第1条抛物线与x轴的交点为A₀（0，0）和A₁（b₁，0），其他依此类推．

（1）求a₁,b₁的值及抛物线y₂的解析式；

（2）抛物线y₃的顶点坐标为（        ，        ）；

依此类推第n条抛物线y_n的顶点坐标为（        ，        ）;

所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系是        ；

（3）探究下列结论：

①若用A_n-1A_n表示第n条抛物线被x轴截得得线段长，直接写出A₀A₁的值，并求出A_n-1A_n；

②是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得得线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
（1）∵与x轴交于点A0（0，0），∴―a12+ a1=0，∴a1=0或1。

由已知可知a1>0，∴a1=1。

∴。

令y1=0代入得：=0，∴x1=0，x2=2。

∴y1与x轴交于A0（0，0），A1（2，0）。∴b1=2。

又∵抛物线与x轴交于点A1（2，0），

∴―(2―a2)2+ a2=0，∴a2=1或4，∵a2> a1，∴a2=1（舍去）。

∴取a2=4，抛物线。

（2）（9，9）； （n2，n2）；y=x。

（3）①∵A0（0，0），A1（2，0），∴A0 A1=2。

又∵，

令yn=0，得，解得：x1=n2+n，x2=n2－n。

∴A n－1(n2－n，0)，A n(n2+n，0)，即A n－1 A n=( n2+n)－( n2－n)=2 n。

②存在。是平行于直线y=x且过A1（2，0）的直线，其表达式为y=x－2。

【解析】

试题分析：（1）将A0坐标代入y1的解析式可求得a1的值；a1的值知道了y1的解析式也就确定了，已知抛物线就可求出b1的值，又把（b1，0）代入y2，可求出a2 ，即得y2的解析式。

（2）用同样的方法可求得a3 、a4 、a5 ……由此得到规律：

∵抛物线令y2=0代入得：，∴x1=2，x2=6。

∴y2与x轴交于点A1（2，0），A2（6，0）。

又∵抛物线与x轴交于A2（6，0），∴―(6―a3)2+a3=0。∴a3=4或9。

∵a3> a3，∴a3=4（舍去），即a3=9。∴抛物线y3的顶点坐标为（9，9）。

由抛物线y1的顶点坐标为（1，1），y2的顶点坐标为（4，4），y3的顶点坐标为（9，9），依次类推抛物线yn的顶点坐标为（n2，n2）。

∵所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标，

∴顶点坐标满足的函数关系式是：y= x。

（3）①由（2）可知A0A1=2，A1A2=4，A2A3=6，得A n－1 A n=2 n。

②猜测这是与直线y=x平行且过A（2，0）的一条直线，即y=x－2。

可用特殊值法验证：取得和，得所截得的线段长度为，换一组抛物线试试，求出的值也为。