Question

如图，在正△ABC中，点D是AC的中点，点E在BC上，且=．求证：
（1）△ABE∽△DCE；
（2），求S_△ABC．

Answer

（1）由题意可以得出∠B=∠C=60°，又==，所以=2，又点D是AC的中点，即：===，所以△ABE∽△DCE；
（2）由（1）知△ABE∽△DCE，由相似三角形的性质（相似三角形的面积之比等于边之比的平方）可得S△ABE=（）2×S△DCE=4×6=cm2，又AD=DC且△AED与△EDC具有相同的高和底，所以S△AED=S△EDC=6cm2，S△ABC=S△ABE+S△DCE+S△AED，代入求值．
（1）证明：∵△ABC是正三角形，
∴∠B=∠C，AB=AC．
∵点D是AC的中点，
∴AC=2CD．
∵=，
∴BE=2CE．
∴==．
∴△ABE∽△DCE．

（2）【解析】
∵△ABE∽△DCE，
∴S△ABE=（）2×S△DCE=4×6=24cm2，
又∵AD=DC且△AED与△EDC具有相同的高和底，
∴S△AED=S△EDC=6cm2
∴S△ABC=S△ABE+S△DCE+S△AED=24++=cm2．