Question

已知：如图，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．

Answer

要求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心，只要证明AE=BE=DE即可，可以根据等角对等边可以证得．
证明：∵点D在∠BAC的平分线上，
∴∠1=∠2．（1分）
又∵DE∥AC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3．（2分）
∴AE=DE．（3分）
又∵BD⊥AD于点D，
∴∠ADB=90°．（4分）
∴∠EBD+∠1=∠EDB+∠3=90°．（5分）
∴∠EBD=∠EDB．（6分）
∴BE=DE．（7分）
∴AE=BE=DE．（8分）
∵过A，B，D三点确定一圆，又∠ADB=90°，
∴AB是A，B，D所在的圆的直径．（9分）
∴点E是A，B，D所在的圆的圆心．（10分）