Question

如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE．
（1）试探究，四边形BECF是什么特殊的四边形？
（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．（特别提醒：表示角最好用数字）

Answer

（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC，根据四边相等的四边形是菱形即可判断；
（2）由菱形的性质知，对角线平分一组对角，即当∠ABC=45°时，∠EBF=90°，有菱形为正方形，根据直角三角形中两个角锐角互余得，∠A=45度．
【解析】
（1）四边形BECF是菱形．
证明：∵BC的垂直平分线为EF，
∴BF=FC，BE=EC，
∴∠1=∠3，
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠3+∠A=90°，
∴∠2=∠A，
∴EC=AE，
又∵CF=AE，BE=EC
∴BE=EC=CF=BF，
∴四边形BECF是菱形．

（2）当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．
证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠1=45°，
∴∠EBF=2∠A=90°，
∴菱形BECF是正方形．