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如图,已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点,...

如图,已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点,且△ACE是等边三角形.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若∠AED=2∠EAD,求证:四边形ABCD是正方形.

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(1)根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形.由题意易得△AOE≌△COE,∴∠AOE=∠COE=90°,∴BE⊥AC,∴四边形ABCD是菱形; (2)根据有一个角是90°的菱形是正方形.由题意易得∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°,∵四边形ABCD是菱形,∴∠BAD=2∠DAO=90°,∴四边形ABCD是正方形. 证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=CO. ∵△ACE是等边三角形, ∴EO⊥AC(三线合一),又四边形ABCD为平行四边形, ∴四边形ABCD是菱形. (2)∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BE, ∴∠AOE=90°,即△AOE是直角三角形, ∴∠AED+∠EAO=90° ∵△ACE是等边三角形, ∴∠EAO=60°, ∴∠AED=30° ∵∠AED=2∠EAD ∴∠EAD=15°, ∴∠DAO=∠EAO-∠EAD=45° ∵四边形ABCD是菱形. ∴∠BAD=2∠DAO=90° ∴平行四边形ABCD是正方形.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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