Question

如图，一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°．
（1）求△ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，），试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；
（3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q？若存在，请写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先求出A、B两点的坐标，再由一个角等于30°，求出AC的长，从而计算出面积；
（2）过P作PD⊥x轴，垂足为D，先求出梯形ODPB的面积和△AOB的面积之和，再减去△APD的面积，即是△APB的面积；根据△APB与△ABC面积相等，求得m的值；
（3）假设存在点Q，使△QAB是等腰三角形，求出Q点的坐标即可．
【解析】

（1）∵一次函数的解析式为函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（1，0），B（0，），
∴AB=2，
设AC=x，则BC=2x，由勾股定理得，4x2-x2=4，
解得x=，S△ABC==；

（2）过P作PD⊥x轴，垂足为D，
S△APB=S梯形ODPB+S△AOB-S△APD==，
-=，解得m=；

（3）∵AB==2，
∴当AQ=AB时，点Q1（3，0），Q2（-1，0），Q3（0，-）；
当AB=BQ时，点Q4（0，+2），Q2（0，-2），Q2（-1，0）；
当AQ=BQ时，点Q6（0，），Q2（-1，0），
综上可得：（0，），（0，），（-1，0）（3，0），（0，），（0，）