Question

已知：二次函数y=-x²+2x+3
（1）求函数图象的顶点P的坐标；
（2）设函数图象与y轴交于点C，与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），求点A、B、C的坐标；
（3）根据对称轴、点P、A、B、C的坐标，在如图所示的坐标系内，画出二次函数的示意图，并求出△PBC的面积．

Answer

（1）可用配方法求出二次函数的顶点坐标；
（2）令二次函数的y=0，可求出A、B的坐标；令x=0，可求出C点坐标；
（3）由于△PBC的面积无法直接求出，可用其他规则图形面积的和差关系来求解；设抛物线的对称轴交x轴于D点，易求得D的坐标，那么△PBC的面积=梯形PCOD的面积+△PBD的面积-△BOC的面积，由此得解．
【解析】
（1）y=-（x-1）2+4，
∴顶点P的坐标为（1，4）；

（2）当y=0时，有：-x2+2x+3=0，
即：x2-2x-3=0，
x1=3，x2=-1，
∴A（-1，0），B（3，0），
令x=0，则y=3，
∴C点坐标为（0，3）；

（3）图象如右图所示：
∵P（1，4），C（0，3），B（3，0），D（1，0），
∴OC=3，PD=4，OD=1，BD=2，
∴S△PBC=S四边形PCOB-S△COB，
=（S梯形PCOD+S△PDB）-S△COB，
=，
=3．