Question

如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于Q．
探究：设A、P两点间的距离为x．
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；
（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出函数自变量x的取值范围；
（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置．并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由．

Answer

（1）PQ=PB，过P点作MN∥BC分别交AB、DC于点M、N，可以证明Rt△MBP≌Rt△NPQ；
（2）S四边形PBCQ=S△PBC+S△PCQ分别表示出△PBC于△PCQ的面积就可以．
（3）△PCQ可能成为等腰三角形．①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，PQ=QC，
②当点Q在DC的延长线上，且CP=CQ时，就可以用x表示出面积．
【解析】
（1）PQ=PB，（1分）
过P点作MN∥BC分别交AB、DC于点M、N，
在正方形ABCD中，AC为对角线，
∴AM=PM，
又∵AB=MN，
∴MB=PN，
∵∠BPQ=90°，
∴∠BPM+∠NPQ=90°；
又∵∠MBP+∠BPM=90°，
∴∠MBP=∠NPQ，
在Rt△MBP≌Rt△NPQ中，
∵
∴Rt△MBP≌Rt△NPQ，（2分）
∴PB=PQ．

（2）∵S四边形PBCQ=S△PBC+S△PCQ，
∵AP=x，
∴AM=x，
∴CQ=CD-2NQ=1-x，
又∵S△PBC=BC•BM=•1•（1-x）=-x，
S△PCQ=CQ•PN=（1-x）•（1-x），
=-+，
∴S四边形PBCQ=-x+1．（0≤x≤）．（4分）

（3）△PCQ可能成为等腰三角形．
①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，
PQ=QC，此时，x=0．（5分）
②当点Q在DC的延长线上，且CP=CQ时，（6分）
有：QN=AM=PM=x，CP=-x，CN=CP=1-x，CQ=QN-CN=x-（1-x）=x-1，
∴当-x=x-1时，x=1．（7分）．