Question

如图，四边形OABC是等腰梯形，OA∥BC，A的坐标（4，0），B的坐标（3，2），点M从O点以每秒3个单位的速度向终点A运动；同时点N从B点出发以每秒1个单位的速度向终点C运动（M到达点A后停止，点N继续运动到C点停止），过点N作NP⊥OA于P点，连接AC交NP于Q，连接MQ，如动点N运动时间为t秒．
（1）求直线AC的解析式；
（2）当t取何值时？△AMQ的面积最大，并求此时△AMQ面积的最大值；
（3）是否存在t的值，使△PQM与△PQA相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）分别过C、B作x轴的垂线，设垂足为D、E，根据B、A的坐标可知AE=1，根据等腰梯形的对称性知，OD=AE=1，而B、C的纵坐标相等，由此可确定C点的坐标，即可用待定系数法求出直线AC的解析式；
（2）易知BC=2，可用t表示出CN的长，再根据∠NCQ（即∠CAD）的正切值求出NQ的长，进而可表示出QP的长；同理可用t表示出AM的长，以AM为底，PQ为高即可得到关于△AMQ的面积与t的函数关系式，根据所得函数的性质及自变量的取值范围即可求出△AMQ的最大面积及对应的t的值；
（3）此题要分两种情况考虑：
①当M在点P左侧时，由于∠QPM=∠QPA=90°，若△PQM与△PQA相似则有两种可能：
一、△QPM∽△QPA（此时两三角形全等），二、△QPM∽△APQ；
根据上述两种情况所得的不同比例线段即可求出t的值；
②当M在P点右侧时，方法同①．
【解析】
（1）分别过C、B作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E；
则AE=4-3=1，BE=CD=2；
由于四边形ABCO是等腰梯形，则OC=AB，∠COD=∠BAE；
∴Rt△COD≌Rt△BAE；
∴OD=AE=1，即C（1，2）；
设直线AC的解析式为：y=kx+b，则有：
，
解得；
∴直线AC的解析式为：y=-x+；

（2）在Rt△ACD中，AD=3，CD=2；
∴tan∠CAD=；
∵BN=t，OM=3t，
∴CN=2-t，AM=4-3t；
∴QN=CN•tan∠NCQ=CN•tan∠CAD=（2-t）；
∴PQ=NP-NQ=2-（2-t）=；
设△AMQ的面积为S，则有：
S=（4-3t）•=-t2+t+=-（t-）2+（0≤t≤2），
∴当t=时，S值最大，且最大值为；

（3）①当M点位于点P左侧时，即0≤t＜时；
QP=，PM=3-4t，AP=t+1；
由于∠QPM=∠QPA=90°，若△PQM与△PQA相似，则有：
（一）、△QPM∽△QPA，由于QP=QP，则△QPM≌△QPA；
∴PM=PA，即3-4t=t+1，
解得t=；
（二）、△QPM∽△APQ，则有：QP2=MP•AP，即：
（t+1）2=（3-4t）（t+1），
解得t=，t=-1（舍去）；
②当点M位于点P右侧时，即＜t≤2时；
QP=，PM=4t-3，AP=t+1；
若△PQM与△PQA相似，则有：
（一）、△QPM∽△QPA，由于QP=QP，则△QPM≌△QPA；
此时M、A重合，
∴≤t≤2；
（二）、△QPM∽△APQ，则有：QP2=MP•AP，
即（t+1）2=（4t-3）（t+1），
解得t=，t=-1（舍去）；
综上所述，当t的值为或或或≤t≤2时，△PQM与△PQA相似．