Question

已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：
（1）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D．
①在图甲中，证明：PC=PD；
②在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG=PD，求△POD与△PDG的面积之比；
（2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，在图丙中作出图形，试求OP的长．

Answer

（1）①可通过构建全等三角形来求解；②可根据相似比来求面积比．
（2）分两种情况进行讨论：①当C在OA上上时；②当C在OA延长线上时；
【解析】
（1）①证明：过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，得∠HPN=90°
∴∠HPC+∠CPN=90°
∵∠CPN+∠NPD=90°
∴∠HPC=∠NPD
∵OM是∠AOB的平分线
∴PH=PN
又∵∠PHC=∠PND=90°
∴△PCH≌△PDN
∴PC=PD
②∵PC=PD
∴∠PDG=45°
∵∠POD=45°
∴∠PDG=∠POD
∵∠GPD=∠DPO
∴△POD∽△PDG
∴．

（2）①若PC与边OA相交，
∵∠PDE＞∠CDO
令△PDE∽△OCD
∴∠CDO=∠PED
∴CE=CD
∵CO⊥ED
∴OE=OD
∴OP=ED=OD=1
②若PC与边OA的反向延长线相交
过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，
∵∠PED＞∠EDC
令△PDE∽△ODC
∴∠PDE=∠ODC
∵∠OEC=∠PED
∴∠PDE=∠HCP
∵PH=PN，Rt△PHC≌Rt△PND
∴HC=ND，PC=PD
∴∠PDC=45°
∴∠PDO=∠PCH=22.5°
∴∠OPC=180°-∠POC-∠OCP=22.5°
∴OP=OC．设OP=x，则OH=ON=
∴HC=DN=OD-ON=1-
∵HC=HO+OC=+x
∴1-=+x
∴x=
即OP=