Question

如图①，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与原点重合，对角线BD所在直线与y轴的夹角为60°，AB=8．矩形ABCD沿DB方向以每秒1个单位长度运动，同时点P从点A出发沿矩形ABCD的边以每秒1个单位长度做匀速运动，经过点B到达点C，设运动时间为t．
（1）求出矩形ABCD的边长BC；
（2）如图②，图形运动到第6秒时，求点P的坐标；
（3）当点P在线段BC上运动时，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F，则矩形PEOF是否能与矩形ABCD相似？若能，求出t的值；若不能，说明理由．

Answer

（1）在Rt△DBC中，由于∠BDC=60°，CD=AB=8，利用三角函数知识即可求出BC的长度；
（2）当图形运动到第6秒时，此时点P在AB上，由此得到OD=6，AP=6，由∠BDC=60°得到∠BDA=30°，平移过程中∠BDA保持不变，所以利用三角函数的定义可以求出D点坐标，接着可以求出A的坐标，也就求出P的坐标；
（3）当点P在BC边运动时，即，已知条件可以求出点D和C的坐标，接着求出P的坐标，再用t分别表示PE、PF，最后根据矩形相似的对应边成比例即可求出t的值．
【解析】
（1）在Rt△DBC中，∵∠BDC=60°，CD=AB=8
∴；

（2）当图形运动到第6秒时，
此时点P在AB上，OD=6，AP=6，
而∠BDA=30°，
∴D点坐标为，
∴点A坐标为，
∴点P的坐标为；

（3）当点P在BC边运动时，即，
而DO=t，∠BOA=30°，
∴点D的坐标为，点C的坐标为
∴点P的坐标为，
即PF=，PE=，
若矩形PEOF与矩形ABCD相似，
①若，
∴，
解得t=8，
②若，
则，
解得．
因为＞8+8，此时点P不在BC边上，舍去．
因此当t=8时，点P到达点B，矩形PEOF与矩形BADC相似．