Question

已知：在△ABC中，∠ABC=90°，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连接BM，DM．

（1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；
（2）如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；
（3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系．

Answer

（1）由于BM、DM分别是Rt△DEC、Rt△EBC的斜边上的中线，即可证得BM=DM=CE；易知BM=MC=DM，结合三角形的外角性质可知∠EMB=2∠MCB，∠DME=2∠DCM，两式相加即可得到∠BMD=2∠BCD．
（2）同（1）易证得DM=BM；由于BM=MC=DM=EM，结合三角形的外角性质可得：∠BME=2∠BCM，∠DME=2∠MCD，两式相减即可得到∠BMD=2∠BCD．
（3）此题应分三种情况：
①D点在线段AC上时，易证得BM=MD，同（2）可证得∠BMD=2∠BCD；
②D、C重合，此时BM=MD，而∠BCD不存在；
③D点在AC的延长线上，同（2）可得到∠BMD=∠BME+∠EMD=2∠BCD，所以钝角∠BMD=360°-2∠BCD．
【解析】
（1）结论：BM=DM，∠BMD=2∠BCD．
理由：∵BM、DM分别是Rt△DEC、Rt△EBC的斜边上的中线，
∴BM=DM=CE；
又∵BM=MC，∴∠MCB=∠MBC，即∠BME=2∠BCM；
同理可得∠DME=2∠DCM；
∴∠BME+∠DME=2（∠BCM+∠DCM），即∠BMD=2∠BCD．

（2）在（1）中得到的结论仍然成立．即BM=DM，∠BMD=2∠BCD
证法一：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴BM=EC=MC，
又点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴DM=EC=MC，
∴BM=DM；
∵BM=MC，DM=MC，
∴∠CBM=∠BCM，∠DCM=∠CDM，
∴∠BMD=∠EMB+∠EMD=2∠BCM+2∠DCM
=2（∠BCM+∠DCM）=2∠BCD，
即∠BMD=2∠BCD．
证法二：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴BM=EC=ME；
又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，
∴DM=EC=MC，
∴BM=DM；
∵BM=ME，DM=MC，
∴∠BEC=∠EBM，∠MCD=∠MDC，
∴∠BEM+∠MCD=∠BAC=90°-∠BCD，
∴∠BMD=180°-（∠BMC+∠DME），
=180°-2（∠BEM+∠MCD）=180°-2（90°-∠BCD）=2∠BCD，
即∠BMD=2∠BCD．

（3）所画图形如图所示：

图1中有BM=DM，∠BMD=2∠BCD；
图2中∠BCD不存在，有BM=DM；
图3中有BM=DM，∠BMD=360°-2∠BCD．
解法同（2）．