Question

如图，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线AQ交BC于点P，交⊙O于点Q．已知AC=6，∠AQC=30度．
（1）求AB的长；
（2）求点P到AB的距离；
（3）求PQ的长．

Answer

（1）根据同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角时90度，确定△ABC是有一个角为90度的直角三角形，进而求出AB的长；
（2）根据角平分线的性质，求出△APB为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，PO的长即为点P到AB的距离；
（3）连接OP，根据角平分线和等腰三角形的性质，求出PQ=CP=PO=2．
【解析】
（1）因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90度．
又因为∠ABC=∠AQC=30°，AC=6，则AB=12．

（2）由（1）可知∠BAC=60°，AO=6，由于AQ是∠BAC的平分线，
所以∠CAQ=∠BAQ=30°，则有∠BAQ=∠ABC=30°，
所以△APB是等腰三角形．
连接PO，则PO就是点P到AB的距离．
在Rt△AOP中，PO=AO•tan30°=2．
故所求点P到AB的距离为2．

（3）因为∠BCQ=∠BAQ=30°，
∴∠AQC=∠BCQ，则PQ=CP，
由于AP是∠BAC的平分线，∠ACP=∠AOP=90°，
所以CP=PO=2，那么PQ=2．