Question

已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠BCA交AD于E，AF平分∠BAD交BD于F．
求证：（1）CF²=CD•CB；
（2）DE•DB=DF•DA．

Answer

（1）由射影定理得CA2=CD•CB，再证CA=CF，得CF2=CD•CB；
（2）易证△CAE≌△CFE得∠CAE=∠CFE，所以∠CBA=∠CFE，所以△DEF∽△DAB得DE•DB=DF•DA．
证明：（1）∵∠BAC=∠ADC=90°，∠ACB=∠DCA，
∴△BAC∽△ADC．
∴CA：CD=CB：CA．
∴CA2=CD•CB．
∵∠AFC=180°-∠ADF-∠FAD=90°-∠FAD，
∠CAF=∠CAB-∠BAF=90°-∠BAF，
∵AF平分∠BAD，
∴∠FAD=∠BAF．
∴∠AFC=∠CAF．
∴CA=CF．
∴CF2=CD•CB．

（2）∵CA=CF，∠ACE=∠FCE，CE=CE，
∴△CAE≌△CFE．
∴∠CAE=∠CFE．
∵∠CAE=90°-∠BAD=∠B，
∴∠CFE=∠B．
∴EF∥AB．
∴△DEF∽△DAB．
∴DE：DF=DA：DB．
∴DE•DB=DF•DA．