Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点（不与A，D重合），PE⊥BP，P为垂足，PE交DC于E．
（1）△ABP与△DPE是否相似？请说明理由．
（2）请你探索点P在运动过程中，四边形ABED是否构成矩形？如果能，求AP长；如不能，说明理由．
（3）请你探索点P在运动过程中，△BPE能否成为等腰三角形？如果能，求AP长；如不能，说明理由．

Answer

（1）根据题意，不难得出∠APB和∠DEP同为∠DPE的余角，因此∠APB=∠DEP，而所求的两三角形中又都有一个直角，因此两三角形相似．
（2）当四边形ABED是矩形时，可得出AB=DE=2，AD=BE，可根据这些条件和（1）的相似三角形得出的比例关系式求出AP的长．
（3）由于△BPE是直角三角形，如果△BPE要成为等腰三角形，只有一种情况：BP=PE．可根据这个条例，联立（1）的相似三角形得出的比例关系可求出AP的长，再利用勾股定理求出．
【解析】
（1）相似．
∵直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，PE⊥BP，
∴∠A=∠D=∠BPE=90°，
∴∠ABP+∠APB=90°，∠APB+∠DPE=90°，
∴∠ABP=∠DPE，
∴△ABP∽△DPE．

（2）能构成矩形时，AP=1或4．理由如下：
∵∠A=∠D=90°，∠ABP+∠APB=90°，∠APB+∠DPE=90°，
∴∠ABP=∠DPE，
∴△PAB∽△EDP，
∴AP：AB=DE：DP，
∵AB=DE=2，AD=5，
∴AP2-5AP+4=0，
解得AP=1或AP=4．

（3）∵PE⊥BP，BPE只可能是等腰直角三角形，
若△BPE是等腰直角三角形，则PB=PE，
∴△ABP≌△DPE，
∴PD=AB=2，
∴AP=DE=AD-PD=3，
∴当AP=3时，△BPE是等腰三角形．