Question

如图，已知△ABC为等边三角形，M为三角形外任意一点．
（1）请你借助旋转知识说明AM≤BM+CM；
（2）线段AM是否存在最大值？若存在，请指出存在的条件；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）应把AM和BM所在的三角形旋转，与AM组成三角形，将△BMC绕B点逆时针方向旋转，使C点与A点重合，得△BM′A，易得△BMM′为正三角形，根据三角形三边关系即可证明．
（2）由（1）得线段AM存在最大值，M′在AM上时．
【解析】
（1）将△BMC绕B点逆时针方向旋转，使C点与A点重合，得△BM′A，（1分）
∵∠MBM′=60°，BM=BM′，AM′=MC．
∴△BMM′为正三角形．
∴MM′=BM．（2分）
①若M′在AM上，
则AM=AM′+MM′=BM+MC，（3分）
②若M′不在AM上，连接AM′、MM′，
在△AMM′中，根据三角形三边关系可知：
AM＜AM′+MM′，
∴AM＜BM+MC，
综上所述：AM≤BM+CM；（5分）

（2）线段AM有最大值．（6分）
当且仅当M′在AM上时，AM=BM+MC；
存在的条件是：∠BMC=120°．（8分）