Question

已知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，下列说法：
①若a+b+c=0，则b²-4ac＞0；
②若方程两根为-1和2，则2a+c=0；
③若方程ax²+c=0有两个不相等的实根，则方程ax²+bx+c=0必有两个不相等的实根；
④若b=2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（ ）
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④

Answer

①观察条件，知是当x=1时，有a+b+c=0，因而方程有根．
②把x=-1和2代入方程，建立两个等式，即可得到2a+c=0．
③方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则△=-4ac＞0，左边加上b2就是方程ax2+bx+c=0的△，由于加上了一个非负数，所以△＞0．
④把b=2a+c代入△，就能判断根的情况．
【解析】
①当x=1时，有若a+b+c=0，即方程有实数根了，
∴△≥0，故错误；
②把x=-1代入方程得到：a-b+c=0 （1）
把x=2代入方程得到：4a+2b+c=0  （2）
把（2）式减去（1）式×2得到：6a+3c=0，
即：2a+c=0，故正确；
③方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，
则它的△=-4ac＞0，
∴b2-4ac＞0而方程ax2+bx+c=0的△=b2-4ac＞0，
∴必有两个不相等的实数根．故正确；
④若b=2a+c则△=b2-4ac=（2a+c）2-4ac=4a2+c2，
∵a≠0，
∴4a2+c2＞0故正确．
②③④都正确，故选C．