Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC的平分线交AC于D．
（1）求证：△ABC∽△BCD；（2）若BC=2，求AB的长．

Answer

（1）根据角平分线的性质得到∠DBC=∠A，已知有一组公共角，则根据有两组角对应相等则两三角形相似可得到△ABC∽△BCD；
（2）相似三角形的对应边对应成比例，且由已知可得到BD=BC=AD，从而便可求得AB的长．
证明：（1）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=36°．
∴∠DBC=∠A=36°．
又∵∠ABC=∠C，
∴△ABC∽△BCD．

（2）∵∠ABD=∠A=36°，
∴AD=BD，∠BDC=∠C=72°．
∴BD=BC=AD．
∵△ABC∽△BCD，
∴．
即．
解得：AB=1+或1-（不符合题意）．
∴AB=1+．