Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上．
（1）若∠B=∠CAD=30°，求证：AD是⊙O的切线；
（2）若将（1）中的条件改为“∠B=∠CAD”，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）在第（1）问的条件下，若OD⊥AB，BC=2，求AD的长．

Answer

（1）连接OA．根据圆周角定理，得∠AOC=2∠B=60°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，得∠OAC=∠ACO=60°，从而得到∠OAD=90°，则AD是⊙O的切线；
（2）设∠B=∠CAD=α．根据圆周角定理，得∠AOC=2α，从而求得∠OAC=90°-α，则∠OAD=90°，即可证明AD是⊙O的切线；
（3）根据垂径定理，得弧BC=弧AC，则AC=BC=2．结合（1）的结论，知OA=OC=AC=2，在直角三角形OAD中，利用解直角三角形的知识即可求解．
【解析】
（1）连接OA．
∵∠B=30°，
∴∠AOC=60°．
∵OA=OC，
∴∠OAC=60°．
∴∠OAC+∠CAD=60°+30°=90°，
∴AD是⊙O的切线．

（2）成立．
设∠B=∠CAD=α．
∴∠AOC=2α，
∴∠OAC=（180°-2α）=90°-α，
∴∠OAC+∠CAD=90-α°+α=90°，
∴AD是⊙O的切线．

（3）∵OD⊥AB，
∴弧BC=弧AC．
∴BC=AC．
由（1）可知：OA=AC=BC=2，∠O=60°，
∵在Rt△AOD中，AO=2，∠O=60°，
∴AD=OA•tan60°=2．