Question

已知：如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边AC于点D，且过点D的切线DE平分边BC．
（1）猜想DE与BE的数量关系，并说明理由；
（2）求证：BC是⊙O的切线．

Answer

（1）根据直径所对的圆周角是直角可判定△BCD为直角三角形，又DE平分边BC，所以由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半判定DE=BE；
（2）因为B点在圆上，所以证明∠ABC=90°即可．连接OD，因DE是切线，有∠ODE=90°．证明∠ABC=∠ODE．
【解析】
（1）DE=BE．
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°．
则∠BDC=90°，即△BCD为直角三角形．
又DE平分边BC，
∴DE=BE=EC．

（2）连接OD．
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE=90°．
∵DE=BE，OD=OB，
∴∠EDB=∠EBD，∠ODB=∠OBD，
∴∠EBD+∠OBD=∠EDB+∠ODB，
即∠OBE=∠ODE=90°．
又B点在圆上，
∴BC是⊙O的切线．