Question

已知：关于x的方程x²-（k+1）x+k²+1=0的两根是一个矩形两邻边的长．
（1）k取何值时，方程有两个实数根；
（2）当矩形的对角线长为时，求k的值．

Answer

（1）根据一元二次方程根的判别式，方程有两个实数根，则判别式△≥0，得出关于k的不等式，求出k的取值范围．
（2）根据勾股定理和根与系数的关系得出关于k的方程，求出k的值并检验．
【解析】
（1）设方程的两根为x1，x2
则△=[-（k+1）]2-4（k2+1）=2k-3，
∵方程有两个实数根，∴△≥0，
即2k-3≥0，
∴k≥
∴当k≥，方程有两个实数根．

（2）由题意得：，
又∵x12+x22=5，即（x1+x2）2-2x1x2=5，
（k+1）2-2（k2+1）=5，
整理得k2+4k-12=0，
解得k=2或k=-6（舍去），
∴k的值为2．