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如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出...

如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:
(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的manfen5.com 满分网
(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.

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(1)关于动点问题,可设时间为x,根据速度表示出所涉及到的线段的长度,找到相等关系,列方程求解即可,如本题中利用,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的作为相等关系; (2)先假设相似,利用相似中的比例线段列出方程,有解的且符合题意的t值即可说明存在,反之则不存在. 【解析】 (1)设经过x秒后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的, 则有:(6-2x)x=×3×6,即x2-3x+2=0,(2分) 解方程,得x1=1,x2=2,(3分) 经检验,可知x1=1,x2=2符合题意, 所以经过1秒或2秒后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的.(4分) (2)假设经过t秒时,以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似, 由矩形ABCD,可得∠CDA=∠MAN=90°, 因此有或(5分) 即①,或②(6分) 解①,得t=;解②,得t=(7分) 经检验,t=或t=都符合题意, 所以动点M,N同时出发后,经过秒或秒时,以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似.(8分)
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考点分析:
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(1)如图(1),在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,易知AC⊥BD,manfen5.com 满分网=manfen5.com 满分网
(2)如图(2),若点E是正方形ABCD的边CD的中点,即manfen5.com 满分网,过D作DG⊥AE,分别交AC、BC于点F、G.求证:manfen5.com 满分网
(3)如图(3),若点P是正方形ABCD的边CD上的点,且manfen5.com 满分网(n为正整数),过点D作DN⊥AP,分别交AC、BC于点M、N,请你先猜想CM与AC的比值是多少,然后再证明你猜想的结论.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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