Question

已知，如图，等边三角形ABC中，AB=4，点P为AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，过点E作EF⊥AC，垂足为F，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，设BP=x，AQ=y．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合．

Answer

（1）设BP=x，利用等边三角形中，三个角均为60°，三边长相等，逐步求出BE，EC，CF，AF的长，利用△BEP∽△AQF，对应边成比例，求出AP与AQ之间的关系；
（2）点P与点Q重合时，有AQ+AP=AB，代入关系式求解．
【解析】
（1）PE⊥BC，EF⊥AC，FQ⊥AB，
∠A=∠B=∠C=60°，设BP=x，
∴BE=，EC=4-，CF=2-，
AF=4-2+=2+，
∵△BEP∽△AQF，
∴，
∴AQ=1+，
∴y=1+（0＜x≤4）；

（2）当x+y=4，x+1+=4，
∴x=3，
∴x=．
故BP为时，P与Q重合．