Question

在边长为1的正方形ABCD的边AB上取一点P，边BC上取一点Q，边CD上取一点M，边AD上取一点N，如果AP+AN+CQ+CM=2，求证：PM⊥QN．

Answer

直接证明PM⊥QN有困难，可设想将QN旋转90°成一新的直线Q1N1，只需证明PM∥Q1N1即可．
证明：如图所示，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转90°，
则正方形ABCD变到正方形ADC1D1的位置，
其中A不变，B变到D，Q变到Q1，C变到C1，N变到N1，直线QN变到Q1N1．
因此QN⊥Q1N1，
因为AN=AN1，CQ=C1Q1，
所以PN1=AP+AN1=AP+AN=2-（CM+CQ）=CC1-（CM+C1Q1）=MQ1．
又PN1∥MQ1，
所以四边形PMQ1N1是平行四边形．
故PM∥Q1N1．
因此PM⊥QN．