Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为t秒．

（1）当t=　    　时，点P与点Q相遇；

（2）在点P从点B到点C的运动过程中，当ι为何值时，△PCQ为等腰三角形？

（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为s平方单位．

①求s与ι之间的函数关系式；

②当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将△ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的

△APD与△PCQ重叠部分的面积．

Answer

【解析】
（1）7。

（2）点P从B到C的时间是3秒，此时点Q在AB上，则

当时，点P在BC上，点Q在CA上，若△PCQ为等腰三角形，则一定为等腰直角三角形，有：PC=CQ，即3﹣t=2t，解得：t=1。

当时，点P在BC上，点Q在AB上，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=PC（如图1），则点Q在PC的中垂线上。

作QH⊥AC，则QH=PC，△AQH∽△ABC，

在Rt△AQH中，AQ=2t﹣4，

则。

∵PC=BC﹣BP=3﹣t，

∴，解得：。

综上所述，在点P从点B到点C的运动过程中，当t=1或时，△PCQ为等腰三角形。

 （3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，

则PC=t﹣3，BQ=2t﹣9，即。

同（2）可得：△PCQ中，PC边上的高是：，

∴。

∴当t=5时，s有最大值，此时，P是AC的中点（如图2）。

∵沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，

∴PD一定是AC的中垂线。

∴AP=CP=AC=2，PD=BC=。

∴AQ=14﹣2t=14﹣2×5=4。

如图2，连接DC（即AD的折叠线）交PQ于点O，过Q作QE⊥CA于点E，过O作OF⊥CA于点F，则△PCO即为折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积。

则QE=AQ=×4=，EA=AQ=×4=。

∴EP=，CE=。

设FP=x，FO=y，则CF=。

由△CFO∽△CPD得，即，∴。

由△PFO∽△PEQ得，即，∴。解得：。

∴△PCO即为折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积。

【解析】

试题分析：（1）首先利用勾股定理求得AC的长度，点P与点Q相遇一定是在P由B到A的过程中，利用方程即可求得：

在Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=3，AB=5，∴根据勾股定理得AC=4。

则Q从C到B经过的路程是9，需要的时间是4.5秒，此时P运动的路程是4.5，P和Q之间的距离是：3+4+5﹣4.5=7.5。

根据题意得：，解得：t=7。

（2）因为点P从B到C的时间是3秒，此时点Q在AB上，所以分（点P在BC上，点Q在CA上）和（点P在BC上，点Q在AB上）两种情况进行讨论求得t的值。

（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC的长度是t﹣3，然后利用相似三角形的性质即可利用t表示出s的值，然后利用二次函数的性质即可求得s最大时t的值，此时，P是AC的中点，直线PD折叠，使点A落在直线PC上，则PD一定是AC的中垂线。因此，连接DC（即AD的折叠线）交PQ于点O，过Q作QE⊥CA于点E，过O作OF⊥CA于点F，则△PCO即为折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积。应用△CFO∽△CPD和△PFO∽△PEQ得比例式求出OF的长即可求得△PCO即为折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积。