Question

已知：关于x的二次函数（a＞0），点A（n，y₁）、B（n+1，y₂）、C（n+2，y₃）都在这个二次函数的图象上，其中n为正整数．

（1）y₁=y₂，请说明a必为奇数；

（2）设a=11，求使y₁≤y₂≤y₃成立的所有n的值；

（3）对于给定的正实数a，是否存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，求n的值（用含a的代数式表示）；如果不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
（1）∵点A（n，y1）、B（n+1，y2）都在二次函数（a＞0）的图象上，

∴。

∵y1=y2，

∴，整理得：a=2n+1。

∵n为正整数，∴a必为奇数。

（2）当a=11时，∵y1＜y2＜y3，

∴。

化简得：。解得：。

∵n为正整数，∴n=1、2、3、4。

（3）存在。

假设存在，则AB=AC，

如图所示，过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AD⊥BN于点D，CE⊥BN于点E，

∵xA=n，xB=n+1，xC=n+2，∴AD=CE=1。

在Rt△ABD与Rt△CBE中，AB=BC，AD=CE，

∴Rt△ABD≌Rt△CBE（HL）。

∴∠BAD=∠CBE，即BN为顶角的平分线。

由等腰三角形性质可知，点A、C关于BN对称。

∴BN为抛物线的对称轴，点B为抛物线的顶点，

∴。∴。

∴存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形，。

【解析】（1）将点A和点B的坐标代入二次函数的解析式，利用y1=y2得到用n表示a的式子，即可得到答案；

（2）将a=11代入解析式后，由题意列出不等式组，求得此不等式组的正整数解。

（3）本问为存在型问题，如图所示，可以由三角形全等及等腰三角形的性质，判定点B为抛物线的顶点，点A、C关于对称轴对称，于是得到，从而可以求出。