Question

如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点．

（1）求证：△ADP∽△ABQ；

（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM²=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最小值；

（3）若AD=10，AB=a，DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化．当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围．

Answer

【解析】
（1）证明：∵∠QAP=∠BAD=90°，∴∠QAB=∠PAD。

又∵∠ABQ=∠ADP=90°，∴△ADP∽△ABQ。

（2）∵△ADP∽△ABQ，∴，即。∴QB=2x。

∵DP=x，CD=AB=20，∴PC=CD﹣DP=20﹣x．

如图，过点M作MN⊥QC于点N，

∵MN⊥QC，CD⊥QC，点M为PQ中点，

∴点N为QC中点，MN为中位线，

∴，

。

在Rt△BMN中，由勾股定理得，

∴y与x的函数关系式为：（0＜x＜20）。

∵，

∴当x=8即DP=8时，y取得最小值为45，BM的最小值为。

（3）设PQ与AB交于点E。

如图，点M落在矩形ABCD外部，须满足的条件是BE＞MN。

∵△ADP∽△ABQ，∴，即，解得。

∵AB∥CD，∴△QBE∽△QCP。

∴，即，解得。

∵MN为中位线，∴。

∵BE＞MN，∴，解得。

∴当点M落在矩形ABCD外部时，a的取值范围为：，

【解析】（1）由对应两角相等，证明两个三角形相似。

（2）如图所示，过点M作MN⊥QC于点N，由此构造直角三角形BMN，利用勾股定理求出y与x的函数关系式，这是一个二次函数，求出其最小值。

（3）如图所示，当点M落在矩形ABCD外部时，须满足的条件是“BE＞MN”．分别求出BE与MN的表达式，列不等式求解，即可求出a的取值范围。