Question

如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．

（1）求证：DP是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．

Answer

【解析】
（1）证明：连接OD，

∵∠ACD=60°，

∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°。

∴∠DOP=180°﹣120°=60°。

∵∠APD=30°，∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°。

∴OD⊥DP。

∵OD为半径，∴DP是⊙O切线。

（2）∵∠ODP=90°，∠P=30°，OD=3cm，

∴OP=6cm，由勾股定理得：DP=3cm。

∴图中阴影部分的面积。

【解析】（1）连接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根据切线判定推出即可。

（2）求出OP、DP长，分别求出扇形DOB和△ODP面积，即可求出答案。