Question

直线y=x+b与x轴交于点C（4，0），与y轴交于点B，并与双曲线（x＜0）交于点A（-1，n）．
（1）求直线与双曲线的解析式．
（2）连接OA，求∠OAB的正弦值．
（3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似？若存在求出D点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）把点C的坐标代入y=x+b，求出b的值，得出直线的解析式；把点A（-1，n）代入y=x-4得到n的值，求出A点的坐标，再把将A点代入（x＜0）中，求出m的值，从而得出双曲线的解析式；
（2）先过点O作OM⊥AC于点M，根据B点经过y轴，求出B点的坐标，根据勾股定理求出AO的值，根据OC=OB=4，得出△OCB是等腰三角形，求出∠OBC=∠OCB的度数，再在△OMB中，根据正弦定理求出OM的值，从而得出∠OAB的正弦值．
（3）先过点A作AN⊥y轴，垂足为点N，根据AN=1，BN=1，求出AB的值，根据OB=OC=4，求出BC的值，再根据∠OBC=∠OCB=45°，得出∠OBA=∠BCD，从而得出△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，最后根据=或=，再代入求出CD的长，即可得出答案．
【解析】
（1）∵直线y=x+b与x轴交于点C（4，0），
∴把点C（4，0）代入y=x+b得：b=-4，
∴直线的解析式是：y=x-4；
∵直线也过A点，
∴把A点代入y=x-4得到：n=-5
∴A（-1，-5），
 把将A点代入（x＜0）得：m=5，
∴双曲线的解析式是：y=；

（2）过点O作OM⊥AC于点M，
∵B点经过y轴，
∴x=0，
∴0-4=y，
∴y=4，
∴B（0，-4），
AO==，
∵OC=OB=4，
∴△OCB是等腰三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴在△OMB中 sin45°==，
∴OM=2，
∴在△AOM中，
sin∠OAB==；

（3）存在；
过点A作AN⊥y轴，垂足为点N，
则AN=1，BN=1，
则AB==，
∵OB=OC=4，
∴BC==4，
∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠OBA=∠BCD=135°，
∴△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，
∴=或=，
∴=或=，
∴CD=2或CD=16，
∴点D的坐标是（6，0）或（20，0）．