Question

已知：如图，⊙O与⊙O′内切于点B，BC是⊙O的直径，BC=6，BF为⊙O′的直径，BF=4，⊙O的弦BA交⊙O′于点D，连接DF、AC、CD．
（1）求证：DF∥AC；
（2）当∠ABC等于多少度时，CD与⊙O′相切并证明你的结论；
（3）在（2）的前提下，连接FA交CD于点E，求AF、EF的长．

Answer

（1）根据直径所对的圆周角是直角，就可以证出结论；
（2）当∠ABC=30°时，CD与⊙O相切．连接O′D，证明CD与⊙O’相切可以证明∠O′DC=90°就可以；
（3）在Rt△ADF中根据勾股定理就可以求出AF的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等即可求得EF的长．
（1）证法一：∵BC是⊙O的直径，BF是⊙O′的直径，（1分）
∴∠BDF=∠BAC=90°，（2分）
∴DF∥AC；（3分）
证法二：过点B作两圆的外公切线MN，（1分）
∵∠MBA=∠DFB，∠MBA=∠ACB，
∴∠DFB=∠ACB；（2分）

（2）【解析】
当∠ABC=30°时，CD与⊙O相切．（4分）
法一：连接O′D，
∵⊙O′的直径BF=4，⊙O的直径BC=6，
∴O′F=2；（5分）
在Rt△BFD中，由BF=4，∠ABC=30°，
∴DF=2，
∴DF=O′F=FC=2，（6分）
∴△O′DC为直角三角形，
∴∠O′DC=90°；
又∵点D在⊙O′上，
∴CD与⊙O’相切；（7分）
法二：∵⊙O’的直径BF为4，⊙O的直径BC为6，
∴FC=2，
在Rt△BDF中，BF=4，∠ABC=30°，
∴DF=2，∠BFD=60°，
∴DF=FC，
∴∠DCB=∠FDC=30°；（5分）
连接O′D，∠DO′C=2∠B=60°，（6分）
∴∠O′DC=90°，即O′D⊥DC，
又∵点D在⊙O⊙O′上，
∴CD与⊙O⊙O′相切；（7分）

（3）【解析】
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，BC=6，
∴AC=3，AB=3；
在Rt△DBF中，∠ABC=30°，BF=4，
∴DF=2，BD=2，（8分）
∴AD=；
在Rt△ADF中，AF2=AD2+DF2=7；
∵DF∥AC，
∴EF：AE=DF：AC=，
∴EF：AF=，
∴EF=，AF=．（10分）