Question

已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（-1，0）．
（1）求点C的坐标；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；
（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标．

Answer

（1）由同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，得到三角形AOB与三角形AOC相似，由相似得比例，求出OC的长，即可确定出C坐标；
（2）由B与C坐标设出抛物线的二根式，将A坐标代入求出a的值，确定出抛物线解析式，求出对称轴即可；
（3）连接AP，CP，过P作PQ垂直于x轴，将x=m代入抛物线解析式表示出P的纵坐标，即为PQ的长，三角形APC面积=梯形APQO面积+三角形PQC面积-三角形AOC面积，列出S关于m的二次函数解析式，利用二次函数的性质求出S最大时m的值，即可确定出此时P的坐标．
【解析】
（1）∵∠AOB=∠BAC=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，∠ABO+∠ACB=90°，
∴∠BAO=∠ACB，
又∵∠AOB=∠COA=90°，
∴△ABO∽△CAO，
∴=，即OA2=OB•OC，
∵A（0，2），B（-1，0），即OA=2，OB=1，
∴OC=4，
则C（4，0）；

（2）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），
将A（0，2）代入得：2=-4a，即a=-，
则过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-4）=-x2+x+2，对称轴为直线x=；

（3）连接AP，CP，过P作PQ⊥x轴，交x轴于点Q，
将x=m代入抛物线解析式得：n=-m2+m+4，
∵OA=2，OC=4，OQ=m，PQ=-m2+m+4，QC=4-m，
∴S=S△APC=S梯形APQO+S△PQC-S△AOC=×m×（2-m2+m+4）+×（4-m）×（-m2+m+4）-×2×4=-m2+4m+4=-（m-2）2+8，
∵S关于m的二次函数解析式中二次项系数为-1＜0，即抛物线开口向下，
∴当m=2时，S最大值为8，此时P（2，5）．