Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径OA=5，弦AC的长是6．
①求DE的长；
②请直接写出的值．

Answer

（1）连接OD，由AD是∠BAC的平分线得∠EAD=∠DAO，而∠DAO=∠ADO，则∠EAD=∠ADO，根据平行线的判定得到OD∥AE，而DE⊥AC，所以OD⊥DE，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2））①过O作OH⊥AC交AC于H，根据垂径定理得AH=CH=AC=3，再利用勾股定理可计算出OH=4，由于∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，可得到四边形ODEH是矩形，
根据矩形性质得DE=OH=4；
②由OD∥AE可得到△ODF∽△AEF，则=，然后把OD与AE的值代入即可．
【解析】
（1）连接OD，如图，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD=∠DAO，
∵AO=DO，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠EAD=∠ADO，
∴OD∥AE，
又∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（2）①过O作OH⊥AC交AC于H，如图，
则AH=CH=AC=3，
在Rt△AOH中，AH=3，OA=5，
∴OH==4，
∵∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴DE=OH=4；
②∵OD∥AE，
∴△ODF∽△AEF，
∴=，
而OD=5，AE=AH+HE=AH+OD=3+5=8，
∴=．