Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（2，），C（4，0），E点从O出发，以每秒1个单位的速度，沿边OC向C点运动，P点从O点出发，以每秒2个单位的速度，沿边OA与边AC向C运动，E、P两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）求∠AOC的度数；
（2）过E作EH⊥AC于H，当t为何值时，△EPH是等边三角形．
（3）设四边形OEHP的面积S，求S关于t的函数表达式，并求出其最大值．
（4）当△OPE与以E、H、P为顶点的三角形相似，求P点坐标．

Answer

（1）过A作AM⊥OC于M，根据A（2，2）求出OM=2，AM=2，根据tan∠AOC==求出∠AOC=60°；
（2）由勾股定理求出AO=4=OC，求出CE=4-t，HC=EC=2-t，AH=2+t，由勾股定理求出EH=（2-t），
求出AP=AH=1+t，PH=（1+t），根据PH=EH得出（1+t）=（2-t），求出即可；
（3）求出S△AOC=×OC×AM=4，S△EHC=CH×EH=t2+t+2，当0＜t≤2时，P在OA上，过H作HN⊥AO于N，S△AHP=AP×HN=-t2-t+2，代入S=S△AOC-S△EHC-S△APH求出即可；当2＜t＜4时，过O作OR⊥AC于R，求出S△AOP=AP×OR=2t-4，代入S=S△AOC-S△EHC-S△APO求出即可；
（4）当P在AO上时，过P作PM⊥OC于M，求出OM=t，此时E和M重合，PE=t，根据△OPE与以E、H、P为顶点的三角形相似得出=，求出t=，即可得出答案；当P在AC上时，此时P和A重合．
【解析】
（1）过A作AM⊥OC于M，
∵A（2，2），
∴OM=2，AM=2，
∴tan∠AOC==，
∴∠AOC=60°；

（2）如图1，由勾股定理得：AO=4=OC，
∵∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC=OC=OA=4，∠A=∠C=60°，
∵OE=t，
∴CE=4-t，
∵∠C=60°，EH⊥AC，
∴∠HEC=30°，
∴HC=EC=2-t，
∴AH=4-（2-t）=2+t，
由勾股定理得：EH=（2-t），
∵△PEH是等边三角形，
∴∠PHE=60°，
∴∠AHP=180°-90°-60°=30°，
∵∠A=60°，
∴∠APH=90°，
∴AP=AH=（2+t）=1+t，
PH=（1+t），
∵△PEH是等边三角形，
∴PH=EH，
∴（1+t）=（2-t），
t=；
（3）如图1，S△AOC=×OC×AM=×4×2=4，

如图2，S△EHC=CH×EH=•（2-t）•（2-t）=t2+t+2，

当0＜t≤2时，P在OA上，如图3，过H作HN⊥AO于N，

∵∠A=60°，AH=2+t，
∴∠AHN=30°，
∴AN=AH=1+t，
由勾股定理得：HN=（1+t）
∵AP=4-2t，
∴S△AHP=AP×HN=•（4-2t）•（1+t）=-t2-t+2，
∴S=S△AOC-S△EHC-S△APH=4-（t2-t+2）-（-t2-t+2），
S=t2+t；
当2＜t＜4时，如图4，

过O作OR⊥AC于R，
∵∠A=60°，
∴∠AOR=30°，
∴AR=OA=2，由勾股定理得：OR=2，
∴S△AOP=AP×OR=（2t-4）•2=2t-4
∴S=S△AOC-S△EHC-S△APO=4-（t2-t+2）-（2t-4），
S=-t2-t+6；
（4）当P在AO上时，如图5，

过P作PM⊥OC于M，
∵OP=2t，∠AOC=60°，
∴∠OPM=30°，
∴OM=t，
∵OE=t，
∴此时E和M重合，PE=t，
∴∠PEO=90°，
∵∠HEC=30°，
∴∠PEH=60°=∠POE，
∵△OPE与以E、H、P为顶点的三角形相似，
∴=，
∴=，
t=，
∴OE=，PE=t=，
∴P（，）；
当P在AC上时，此时P和A重合，如图6，

此时P的坐标是（2，2）．