Question

如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．
（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；
（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．

Answer

（1）利用旋转的性质得出A′（-1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，得出一元二次方程，得出P点坐标即可；
（3）利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可．
【解析】
（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，
又A（0，1），B（2，0），O（0，0），
∴A′（-1，0），B′（0，2）．----------（1分）
方法一：
设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），
∵抛物线经过点A′、B′、B，
∴，
解得：，
∴满足条件的抛物线的解析式为y=-x2+x+2．----------（3分）
方法二：∵A′（-1，0），B′（0，2），B（2，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-2）
将B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0-2），
解得：a=-1，
故满足条件的抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-2）=-x2+x+2；

（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，
设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=-x2+x+2．
连接PB，PO，PB′，
∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，
=×1×2+×2×x+×2×y，
=x+（-x2+x+2）+1，
=-x2+2x+3．----------（5分）
∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面积为：×1×2=1，
假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则
4=-x2+2x+3，
即x2-2x+1=0，
解得：x1=x2=1，
此时y=-12+1+2=2，即P（1，2）．----------（7分）
∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．----------（8分）

（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．
①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；
③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．----------（10分）
或用符号表示：
①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②PA′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．----------（10分）