Question

已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（-2，0），点B坐标为 （0，2 ），点E为线段AB上的动点（点E不与点A，B重合），以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=x²+mx+n的图象经过A，C两点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）求证：∠BEF=∠AOE；
（3）当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；
温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．

Answer

（1）根据点A、B的坐标求出OA、OB，再利用勾股定理列式求出AB，然后求出点C的坐标，再把点A、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）先求出∠BAO=∠ABO=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，再根据∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF，从而得证；
（3）分①当OE=OF时，根据等边对等角可得∠OFE=∠OEF=45°，然后根据三角形的内角和定理求出∠EOF=90°，从而得到点E与点A重合，不符合题意；②当FE=FO时，根据等边对等角可得∠EOF=∠OEF=45°，再根据三角形的内角和定理求出∠EFO=90°，然后根据同旁内角互补，两直线平行求出EF∥AO，再根据两直线平行，同位角相等求出∠BEF=∠BAO=45°，然后求出EF=BF=OF=OB，再写出点E的坐标即可；③当EO=EF时，过点E作EH⊥y轴于点H，利用“角角边”证明△AOE和△BEF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=AO=2，然后求出△BEH是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出BH=EH=BE，再求出OH，然后写出点E的坐标即可．
【解析】
（1）∵A （-2，0）B （0，2），
∴OA=OB=2，
∴AB===2，
∵OC=AB，
∴OC=2，
∴C（0，2），
又∵抛物线y=-x2+mx+n的图象经过A、C两点，
∴，
解得，，
所以，抛物线的表达式为y=-x2-x+2；

（2）∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，
∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF，
∴∠BEF=∠AOE；

（3）当△EOF为等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当OE=OF时，∠OFE=∠OEF=45°，
在△EOF中，∠EOF=180°-∠OEF-∠OFE=180°-45°-45°=90°，
又∵∠AOB=90°，
则此时点E与点A重合，不符合题意，此种情况不成立；

②如图2，当FE=FO时，∠EOF=∠OEF=45°，
在△EOF中，∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°，
∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°，
∴EF∥AO，
∴∠BEF=∠BAO=45°，
又∵∠ABO=45°，
∴∠BEF=∠ABO，
∴BF=EF，
∴EF=BF=OF=OB=×2=1，
∴E（-1，1）；
③如图3，当EO=EF时，过点E作EH⊥y轴于点H，
在△AOE和△BEF中，，
∴△AOE≌△BEF（AAS），
∴BE=AO=2，
∵EH⊥OB，∠BAO=45°，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴BH=EH=BE=×2=，
∴OH=OB-BH=2-，
∴E（-，2-），
综上所述，当△EOF为等腰三角形时，所求E点坐标为E（-1，1）或E（-，2-）．