Question

如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm．沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC₁D₁和△BC₂D₂两个三角形（如图2所示）．将纸片△AC₁D₁沿直线D₂B（AB）方向平移（点A、D₁、D₂、B始终在同一直线上），当点A与点B重合时，停止平移．设平移的速度是1cm/秒，平移的时间为x（秒），△AC₁D₁与△BC₂D₂重叠部分面积为y（cm²）．
（1）求CD的长和斜边上的高CH；
（2）在平移过程中（如图3），设C₁D₁与BC₂交于点E，AC₁与C₂D₂、BC₂分别交于点F、P．那么四边形FD₂D₁E是否可能是菱形？为什么？如果可能，请求出相应的D₁E=D₂F的值；
（3）请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（4）是否存在这样的x的值，使重叠部分面积为3cm²？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据勾股定理求出AB的值，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可以求出CD的值，根据三角形的面积公式就可以求出CH的值；
（2）根据菱形的性质就可以得出当D2F=D2D1时就可以求出D1E=D2F的值；
（3）分情况讨论，如图3，当0≤x≤5时，如图4，当5＜x≤10时，由三角形的面积公式就可以求出结论；
（4）当y=3时分别代入（3）的解析式就可以求出x的值．
【解析】
（1）∵∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴在直角三角形ABC中，由勾股定理，得
AB=10．
∵D是AB的中点，
∴CD=AB=5．
∵AC•BC=AB•CH，
∴×6×8=CH，
∴CH=4.8；

（2）可能，当D2F=D2D1时，四边形FD2D1E是菱形．
∵C1D1∥C2D2，
∴∠C1=∠AFD2．
∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，
∴DC=DA=DB，即C1D1=C2D2=BD2=AD1，
∴∠C1=∠A，
∴∠AFD2=∠A，
∴AD2=D2F，同理：BD1=D1E，
∴AD2=BD1，
∴D1E=D2F，
∵D1E∥D2F，
∴四边形FD2D1E是平行四边形．
∵D2F=D2D1，
∴平行四边形FD2D1E是菱形．
∵AD2=x，
∴D2D1=5-x，
∴x=5-x，
∴x=2.5，
∴D1E=D2F=2.5；

（3）如图3，当0≤x≤5时，
∵D2D1=x
∴D1E=BD1=D2F=AD2=5-x，
∴C2F=C1E=x．
∵在△ABC中，sin∠CDB=，
∴sin∠ED1B=．
设△BED1的BD1边上的高为h，
∴h=，
∴S△BD1E=×BD1×h=．
∵∠C1+∠C2=90°，
∴∠FPC2=90°．
∵∠C2=∠B，
∴sin∠B=，cos∠B=，
∴PC2=x，PF=x，
∴S△FC2P==x2．
∴y=S△D2C2B-S△BD1E-S△ABC--=x2，
∴y=-x2+x；
如图4，当5＜x≤10时，
∵D2D1=x，BD2=AD1=5，
∴BD1=x-5，
∴AB=5-（x-5）=10-x．
∵sin∠PBA==，cos∠PBA==，
∴PA=，PB=（10-x），
∴y=×PA×PB=××（10-x），
y=（10-x）2．
综上可得：y=
（4）当0≤x≤5时，
-x2+x=3，
解得：x1=＞5（舍去），x2=；
当5＜x≤10时，
（10-x）2=3，
解得：x1=10+＞（舍去），x2=10-；
∴当x=或x=10-时，重叠部分的面积等于3．